SAM 코드 분석
https://with-neural-network.tistory.com/entry/SAM-PyTorch-%EC%BD%94%EB%93%9C-%EB%B6%84%EC%84%9D
현존하는 인공지능의 문제점?
현존하는 인공지능의 문제점은 학습 데이터에 overfitting 돼 있다는 것입니다. overfitting 은 일반화 성능의 주된 원인이기도 하죠. 특히 거대 언어 모델이 판치는 2023년의 사회에서 인공지능은 이러한 일반화 문제를 피할 수 없게 됐습니다. 이러한 문제점을 해결하기 위해 인공지능 학계는 여러 기법들을 도입했습니다.
일반화 성능을 위한 기존 기법들
일반화 성능을 이끌어 내기 위한 방법들로 제시된 것들은 다음이 있습니다. 아래의 방법들은 서로 동시에 사용할 수 있기 때문에, '직교한다 또는 orthogonal 하다'라는 표현을 사용합니다.
- Normalization (BatchNorm, LayerNorm)
- Dropout
- Smoothing
- Data augmentation
- Weight decay
첫 번째로 Normalization 은 인공지능의 편향을 줄여주는 역할로 잘 알려져 있죠? Bias를 없앤다는 것은 인공지능이 편견을 갖지 못하기 한다는 의미로 여길 수 있습니다. 종류로는 Batch 를 기준으로 하는 BatchNormalization 과 Layer 의 출력 (Activation) 을 기준으로 하는 LayerNormalization 등이 있습니다.
두 번째로는 Dropout 이 있습니다. Dropout은 학습을 방해하는 기법으로, 학습 도중 일부 weight 들을 랜덤으로 학습시키지 않습니다. 특정 확률 p 로 weight를 학습 안 시킵니다.
세 번째 방법으로는 Smoothing 이 있습니다. 이것은 정답과 정답이 아닌 것들을 조금 애매모호하게 만들어 학습을 방해하는 기법입니다. PyTorch에서 CrossEntropy loss function 같은 경우, label_smoothing 등의 값을 지정하여 smoothing 기법을 사용할 수 있습니다. 보통은 0.1 정도의 값을 사용합니다.
네 번째로는 Data augmentation 이 있습니다. 이는 학습 데이터를 임의로 늘리는 방법입니다. 단순히 새로운 데이터를 추가하는 것은 아니며, 주어진 학습 데이터를 변형시켜 데이터를 늘리는 방법입니다. 이미지의 경우 학습 이미지를 회전, 대칭, 밝기 조절 등을 수생하여 추가적인 데이터를 얻을 수 있으며, 이를 Data augmentation 기법이라고 합니다.
마지막으로 Weight decay 가 있습니다. 이 또한 학습을 방해하는 방법입니다. optimizer 에 따라 구체적인 방식은 다르지만 공통적으로 weight 에 특정한 값을 더하여 학습을 방해하는 것은 동일합니다.
지금까지는 서로 다른 기법들을 알아봤습니다. 그렇다면, 이번 포스트의 제목에 있는 SAM 은 무엇일까요?
SAM이 뭐지?
https://arxiv.org/pdf/2010.01412.pdf
SAM은 기존 방법론들과 또 다른 계열의 일반화 성능을 올리는 방법입니다. 위에서 소개한 5가지 방법론과 같이 사용할 수 있는 방법으론으로, 2021년 ICLR 이라는 유명한 학회에서 발표된 기법입니다. 최근의 인공지능은 이 방법을 사용하여 더 좋은 일반화 성능을 보였다고 알려져 있습니다.
SAM은 어떻게 일반화 성능을 올릴까?
SAM 이전에 일반화 성능에 관한 한 가지 가설이 있습니다.
"Training loss 그래프가 평탄할 수록 일반화 성능이 올라간다."
그림 01.을 보면 검은색의 training loss와 붉은색의 validation loss가 보입니다. 이런 상황에서 오른쪽 같이 그래프가 평탄할 수록 training loss의 minima 부분에서의 loss와 validation loss의 차이가 적게 난다는 것을 알 수 있습니다. 이러한 유추에 기반하면, "Training loss 그래프가 평탄할 수록 일반화 성능이 올라간다."는 가설은 어느정도 신빙성이 생깁니다.
SAM 은 인공지능이 학습할 때 평탄한 training loss 부분을 찾도록 도와줍니다. 정확히 말하자면 loss를 줄이면서 동시에 sharpness를 최소화 하는 방법론입니다. 논문에서의 contributions 는 다음과 같습니다.
- SAM 은 loss를 줄임과 동시에 loss의 sharpness 또한 줄인다.
- SAM 은 lable noise(label이 잘못됨.)에 덜 민감하다. => 강건하다
- SAM 의 실험 결과를 기반으로 평탄함과 일반화 성능 사이의 관계를 어느정도 이을 수 있다.
위의 그림은 여기의 그래프입니다. 왼쪽은 SAM 이 적용되기 전에 모델이 찾은 loss 그래프와 SAM 이 적용된 후의 loss 그래프입니다. 확실히 오른쪽 그래프가 부드럽고 더욱 평탄합니다. 왼쪽의 그래프 같은 경우, 특정 지점에서 loss가 확연히 주는 것을 알 수 있습니다. 저 부분이 validation 혹은 test의 실제 loss와 동일하다면 그보다 더 좋은 경우는 없겠지만, 사실 그 loss 등이 일치하는 것은 불가능에 가깝습니다. 따라서 왼쪽의 깊고 뾰족한 부분을 피하는 것이 좋겠지요. 반면 왼쪽의 그래프의 minima는 상당히 부드럽고 비교적 평탄합니다. 가설에 따라 일반화 성능이 올라갈 가능성이 높은 부분이죠.
실제 성능 비교
아래는 논문에서 공개한 SAM을 사용했을 때와 안 했을 때의 error에 대한 성능 지표입니다.
왼쪽인 SAM 적용, 오른쪽이 아닐 때입니다. 이미지 계열에서 사용되는 대표적인 dataset인 ImageNet을 사용하여 3개의 ResNet 모델을 비교한 결과, SAM을 사용했을 때 더욱 error 값이 주는 것을 확인할 수 있습니다. 위의 모델 외에도 논문에는 많은 모델들을 비교했으며, SoTA를 달성했습니다.
SAM의 원리
SAM은 같음과 같은 정리 (Theorem)을 보입니다.
여기서 각각의 의미는 다음과 같습니다.
h는 아래에서 더욱 알아볼 것입니다. 위의 이론에 따르면, 실제 모집단의 loss (=우리가 알 수 없는 모든 데이터의 loss)는 현재 모델의 loss (Ls) 부근의 최대 값과 h의 덧셈보다 작다라는 것을 알 수 있습니다. 정리라는 것은 증명된 이론이니 위의 수식은 맞다고 봐야겠죠? (논문의 Appendix를 봐야겠습니다.)
위의 수식을 다시 쓰면 다음과 같습니다.
max는 epsilon에 대해서만 고려하기 때문에 Ls(w)는 상수 취급되며, 정리 01.의 수식과 완전하게 동일합니다. 저자들은 h가 증명에 중대한 영향을 준다고 말하면서, 단순히 lambda와 함께 ||w||2로 대체했다고 설명합니다. (L2 regularization term). 위의 수식은 여러 loss들과 L2 regularization term으로구현돼 있으며, 해당 값을 모두 더하여 optimizer가 optimizing을 진행합니다.
재밌는 점은 위의 대괄호 안에 있는 수식 값이 바로 sharpness를 의미한다는 것입니다. 즉, 뾰족함을 의미하죠. epsilon을 고려한 주변 최댓값(max)에서 현재 값을 뺐으니 sharpness를 의미하게 됩니다. 또한 위의 수식에서 h 항이 L2 norm으로 변했기에 max 항을 제외한 나머지 항이 전부 상수 취급됩니다.
여기서 max 값이 작으면 sharpness도 줄기 때문에 보다 평탄하다는 것의 의미하겠죠?
SAM은 max 값을 w에 대해 줄이도록 합니다.
Ls SAM은 단순히 max 항을 의미합니다. 왼쪽 수식은 Ls SAM 값을 w에 대해 min하기 때문에 바로 위에서 언급한 sharpness를 줄이기 위한 수식을 의미하게 됩니다.
점점 더 어려운 수학으로...
SAM은 우선 Ls SAM의 max 연산부터 풀어 씁니다. 많이 사용되는 테일러 급수의 1차항 표시를 이용하여 max 값을 근사화합니다. 그릭 그때의 epsilon 값을 epsilon *로 명명했습니다. 즉, Ls(w+epsilon*)일 때 Ls 값이 최대라는 의미죠.
위의 수식만으로는 epsilon*를 찾기가 어렵니다. 왜냐하면 arg max가 모든 가능한 epsilon에 대해서 고려되기 때문이죠. 여기서 저자는 dual norm을 활용해 수식을 아래처럼 약간 비틀었습니다. 복잡하지만 아래의 수식이 중요한 것은 아닙니다.
위의 dual norm 수식 덕분에 우리는 단순히 미분 연산으로 epsilon을 구할 수 있게 됐습니다.
여기까지 SAM loss의 수식에서 epsilon에 대한 수식을 정리했습니다. 이제 이것을 Ls SAM에 적용해 봐야 합니다. 우리가 실제 원하는 것은 Ls SAM이 아닌, min(Ls SAM)이고, min값을 구하는데는 미분을 해야겠죠? 고등학교 때 최솟값 찾는 문제에서 미분이 필요했던 것처럼요. 하지만 Ls(w)는 고차원 함수이기에 SAM은 gradient descent 방식과 미분 값을 활용하여 min을 찾습니다.
따라서 저자는 Ls SAM을 w에 대해 미분합니다. 그리고 근사화를 하여 epsilon을 대입합니다.
위의 최종 수식에서 1차 미분과 e와 Ls에 대한 미분 항이 있습니다.epsilon은 Ls의 미분 값이기 때문에, epsilon을 미분하면 Ls와 더불어 Hessian vector가 생성됩니다. 저자들은 해당 값을 계산하는 것을 어렵지 않다고 하네요. 하지만, 저자들은 두 번째 항을 제거하여 최종 다음과 같은 수식을 얻었습니다.
앞서 Ls(w)는 고차원 함수이기에 SAM은 gradient descent 방식과 미분 값을 활용하여 min 값을 찾는다 했습니다. 미분 값을 알았으니, 나머지는 gradient descent 방식으로 min (Ls(w))을 찾으면 됩니다. 여기서 Ls의 미분 값을 어떻게 찾냐고요? 우리에게는 PyTorch나 TensorFlow 같은 자동 미분 프레임워크가 있습니다. 이것들을 이용하면 되죠.
상기하기 위해 다시말하면 Ls SAM을 줄이는 것은 sharpness를 줄이는 것입니다. Gradient descent 방식을 이용해 Ls SAM의 min 방향으로 모델을 업데이트하면 됩니다. (최종 수식의 gradient가 최종 업데이트될 gradient입니다.)
정리
SAM은 일단 loss가 가장 작은 위치의 방향을 찾는다. 그 방향에서의 loss값 중, 가장 평탄한 부분의 위치의 방향을 또 찾는다. 그 방향을 기반으로 가중치를 업데이트한다.
오른쪽 Figure 2를 보면 loss의 등고선이 나와 있다. SAM을 적용하지 않았을 때의 W는 등고선이 보다 좁은 곳으로 향해 있지만, SAM을 적용한 부분에는 그렇지 않다.
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